Model deterministyczny versus stochastyczny w wycenie

Pomiar wartości nieodłącznie związany jest z pomiarem ryzyka oraz przyjętym modelem rzeczywistości. Model deterministyczny versus stochastyczny w wycenie to zagadnienie, do którego warto się odnieść rozważając różne podejścia. W wycenie odnosimy się do zdarzeń przyszłych i do wielkości prognozowanych. Dlaczego generujemy prognozy i plany tak jakby zdarzenia przyszłe cechowała pewność zaistnienia?

Działamy tak jakbyśmy byli silnie obciążeni deterministycznytm oglądem rzeczywistości. Zakładamy, że przychody wzrosną o 5%, wejdziemy na rynek w 2026 r., okres przydatności ekonomicznej innowacyjnej technologii wyniesie 9 lat. W świetle takich punktowych (pewnych) założeń ustalamy wartość bieżącą tej technologii. W praktyce, tego typu załozenia sprawdzą się jedynie przypadkowo i dokładnie to sugeruje nasza intuicja na bazie doświadczenia życiowego.

Kluczowe pojęcia wyceny – wartość i ryzyko

Definicja wartości

Według zgodnego poglądu ekonomistów, wartość w sensie ekonomicznym to kwota, którą należy zapłacić dzisiaj za strumień przyszłych pożytków. Strumień pożytków finansowych możliwy do wygenerowania w przyszłości dzięki własności lub użytkowaniu przedmiotu wyceny. Nasze dzisiejsze postrzeganie wartości zależy zatem od oceny zdarzeń przyszłych.

Zobacz także artykuły: Wartość a cena , Identyfikacja przedmiotu wyceny , Ustalenie wyniku wyceny.

Definicja ryzyka

„Ryzyko” to zdarzenie losowe, które może zaistnieć i jeśli faktycznie zaistnieje to spowoduje istotny negatywny wpływ na realizację celów działania”. Konsekwencją przyjęcia takiej definicji [1] jest założenie, że:

• istnieją realne scenariusze zdarzeń;
• o możliwych do oszacowania prawdopodobieństwach realizacji poszczególnych scenariuszy;
• o możliwych do oszacowania: sile i kierunku oddziaływania skutków zdarzeń na realizację celów. Skutki mierzone poprzez ocenę wartości lub rozkładu wartości zmiennych wskazujących na stopień realizacji celów.

Pomiar ryzyka dla potrzeb procesu wyceny posiada szczególne znaczenie w przypadku:

• wyceny praw do technologii na wczesnym etapie komercjalizacji,
• projektowaniu postanowień umów licencyjnych lub franszyzowych,
• projektowaniu strategii rozwoju marki
• i.t.p.

Alternatywne modele rzeczywistości

Nasze postrzeganie wartości i ryzyka, a w tym możliwość ich wiarygodnego pomiaru, zależy od uznawanego przez nas modelu rzeczywistości.

Model deterministyczny

Historycznie rzecz ujmując, analiza przyczynowo skutkowa zjawisk doprowadziła do budowy skrajnego modelu (rozwiniętego w formie „demona lub maszyny Laplace’a”). W myśl tego modelu, posiadanie wszystkich informacji o określonych obiektach, pozwoliłoby na pewne prognozowanie ich zachowań w przyszłości. Skuteczność planowania ograniczałaby zatem jedynie niepełna informacja.

Braki informacyjne, jak pokazuje praktyka działalności gospodarczej, to nieodłączny towarzysz procesu decyzyjnego. To spostrzeżenie wykorzystujemy dzisiaj, definiując jeden z kluczowych czynników ryzyka określany jako „niepewność”. Istnieją metody ograniczania niepewności poprzez pozyskiwanie dodatkowych informacji. Ryzyko potrafimy ograniczać na drodze zmniejszania niepewności np.: poprzez realizację nowych badań rynkowych.

Zwolennicy „maszyny Laplace’a” postrzegali rzeczywistość według modelu, który można określić jako „deterministyczny” lub fatalistyczny.

Model deterministyczny nie wytrzymał próby czasu i wniosków płynących z „zasady nieoznaczoności Heisenberga”. która wskazała na losowy charakter zjawisk. Zasada ta przyczyniła się do rozwoju „niedeterministycznego modelu” postrzegania rzeczywistości.

Model stochastyczny

Zasada nieoznaczoności wskazała na losowy charakter zjawisk oraz przyczyniła się do rozwoju „niedeterministycznego modelu” postrzegania rzeczywistości.

W konsekwencji przyjęcia nowego modelu, planowanie może być skuteczne także w warunkach niepełnej informacji i dużej zmienności zjawisk. Wymaga to korzystania ze stochastycznych modeli planistycznych. W efekcie, nastąpił rozwój analizy stochastycznej i praktycznych zastosowań analizy symulacyjnej. Zaakceptowano, że zmienność obok niepewności, jest istotnym źródłem ryzyka.

Zmienność stanowi cechę danego systemu i nie można jej ograniczyć na drodze pozyskiwania kolejnych porcji informacji. Ograniczenie zmienności dla potrzeb zarządzania ryzykiem np.: kontraktu licencyjnego, wymaga ingerencji w system. Można to zrealizowac poprzez uzupełnienie kontraktu o nowe klauzule, w tym o charakterze opcji.

Pomiar ryzyka w wycenie

Na bazie przedstawionych pojęć, w praktyce wyceny rozwinęły się współczesne metody identyfikacji i pomiaru ryzyka w kategoriach jakościowych i ilościowych. Metody pomiaru ryzyka stosuje się w praktyce, w sytuacji gdy:

• proces wyceny wymaga pomiaru ryzyka;
• rzeczywistość jest złożona i wielowątkowa z systemami o dużej zmienności zjawisk i zdarzeń;
• istnieje konieczność podejmowania decyzji w warunkach niepewności;
• bardziej pożądany pd „jednowartościowej oceny punktowej”, jest przedział wartości o określonym rozkładzie gęstości prawdopdobieństwa.

Identyfikacja zdarzeń rodzących ryzyko oraz pomiar prawdopodobieństwa ich zaistnienia, pozwoli na zastosowanie w wycenie modeli stochastycznych. Model stochastyczny stwarza możliwość prawidłowej implementacji ryzyka. Model konstruuje się z uwzględnieniem rozpoznanych procesów stochastycznych i z zastosowaniem metod probabilistycznych).

Zacznijmy od łatwego przypadku wyceny Portfela IP (know-how + Patenty). Portfel IP chroni technologię eksploatowaną od pewnego czasu i generującą przychody oraz zyski w procesie sprzedaży produktów.

Zastosujemy dwie dostępne metody wyceny, na bazie danych o zawartych umowach licencyjnych i transakcjach M&A podmiotów dysponujących porównywalnymi Portfelami IP:

• metoda RFR – Relief From royalty (metoda uwolnienia od opłat licenyjnych),
• metoda CTM – Comparable Transaction Multiplies (metoda mnoznikowa porównawcza).

Porównajmy dwa różne podejścia w wycenie Portfela IP, koncentrując się jedynie na konstrukcji użytych modeli finansowych.

Wycena Portfela IP w modelu deterministycznym

Założenia:

1. Analizę finansową przeprowadzono w cenach bieżących. Wynik wyceny wyrażono w tys. PLN. Normatywną stopę podatku dochodowego przyjęto na poziomie T=19%.
2. Do obliczenia stopy dyskontowej użyto koszt kapitału własnego w wysokości 11,9% z uwzględnieniem premii za ryzyko specyficzne Portfela IP i ryzyko prognoz.
3. Prognozę przychodów ze sprzedaży Produktów możliwych do wytwarzania na bazie Portfela IP skonstruowano przy założeniu wielkości prognozowanej do uzyskania w 2025 r. oraz przeciętnego CAGR w wysokości 5,5% w okresie 2026-2029. W kolejnych okresach wskaźnik CAGR zmniejszano liniowo do długoterminowego wskaźnika wzrostu / inflacji oszacowanego na 2,5%.
4. Założono, że okres kapitalizacji przepływów pieniężnych do daty wygasania Patentu i wyczerpania się innowacji objętej know-how (tj. do 2034 r. włącznie).
5. Stawkę opłaty licencyjnej w relacji do wartości przychodów ze sprzedaży założono w wysokości 5,5% na podstawie wyników wyszukiwania porównywlanych licencji / transakcji.
6. Wartość mnożników rynkowych „Tech/ rev” i „Tech/ EV” dla potrzeb metody CTM założono na podstawie analizy mnożników rynkowych portfela transakcji M&A. Wartość przychodów dla potrzeb metody CTM przyjęto na podstawie prognozy dla roku 2025.
7. Wartość zainwestowanego kapitału dla potrzeb metody CTM oszacowano przy użyciu wskaźnika EV/REV na podstawie analizy portfela transakcji M&A, w wysokości 3,42.

Jak wynika z tabeli wartość rynkowa Portfela IP zawiera się w przedziale wyznaczonym przez wyniki dwóch zastosowanych metod tj. od 1865,6 tys. PLN do 1940,5 tys. PLN.

Wycena Portfela IP w modelu stochastycznym

Założenia

1. Do obliczenia stopy dyskontowej użyto koszt kapitału własnego w wysokości 11,9% z uwzględnieniem premii za ryzyko specyficzne Portfela IP i ryzyko prognoz. W celu oszacowania wpływu stopy dyskontowej na wynik wyceny, w modelu finansowym zaimplementowano ten parametr w postaci zmiennej losowej o rozkładzie Uniform, w przedziale skorygowanym o +/-3% wartości wyjściowej. W przypadku tego rozkładu, generator liczb losowych generuje wszystkie wielkości z zadanego przedziału z tym samym prawdopodobieństwem.
2. Prognozę przychodów ze sprzedaży Produktów możliwych do wytwarzania na bazie Portfela IP skonstruowano przy założeniu CAGR w przedziale od 4,5% do 6,3% w okresie 2026-2029. Wynikało to z dostępnych różnych prognoz analityków rynku. W kolejnych okresach wskaźnik ten zmniejszano liniowo do długoterminowego wskaźnika inflacji oszacowanego w przedziale od 2,5% do 3,0%. Wskaźniki te zaimplementowano w modelu finansowym w postaci zmiennych losowych o rozkładzie Uniform.
3. Założono, że okres kapitalizacji przepływów pieniężnych do daty wygasania Patentu tj. do 2034 r. włącznie).
4. Stawkę opłaty licencyjnej w relacji do wartości przychodów ze sprzedaży założono w przedziale od 5,32% do 7,10%. Stawke tą zaimplementowano w modelu finansowym w formie zmiennej losowej o rozkładzie prawostronnie skośnym Beta4. W przypadku tego rozkładu, generator liczb losowych z większym prawdopodobieństwem generuje wielkości bliższe dolnej granicy przedziału.
5. Wartość mnożników rynkowych „Tech/ rev” i „Tech/ EV” dla potrzeb metody CTM założono na podstawie analizy mnożników rynkowych portfela transakcji M&A  w przedziałach: 0,07 do 0,16 i od 0,36 do 0,42 odpowiednio. W modelu finansowym wskaźniki te zaimplementowano w formie zmiennych losowych o rozkładach prawostronnie skośnych Beta4. Wartość przychodów dla potrzeb metody CTM przyjęto na podstawie prognozy dla roku 2025.
6. Wartość zainwestowanego kapitału dla potrzeb metody CTM oszacowano przy użyciu wskaźnika EV/REV na podstawie analizy portfela transakcji M&A, w przedziale od 2,23 do 5,62 i w modelu finansowym wskaźnik ten zaimplementowano w formie zmiennej losowej o rozkładzie symetrycznym Beta4.

---

Wyniki wyliczeń zawierają tabele:

Wyniki wyceny zobrazowano na wykresach i w tabeli:

Jak wynika z wykresu, metoda RFR (w kolorze czerwonym) generuje wynik o bardziej płaskim rozkładzie w porównaniu z bardziej skupionym rozkładem wyniku metody CTM (kolor zielony).

Stanowi to pewną wskazówkę odnośnie warunków niepewności, w których ustalano prametry modeleli finanoswych zastosowanych w tych metodach.

Mamy zatem dwa wyniki wyceny:

• metoda RFR wskazuje, że wartość rynkowa Portfela IP zawiera się w przedziale międzykwartylowym od 2 057,05 tys. PLN do 2 255,24 tys. PLN z medianą 2 151,29 tys. PLN.
• metoda CTM wskazuje, że wartość rynkowa Portfela IP zawiera się w przedziale międzykwartylowym od 2 045,19 tys. PLN do 2 458,37 tys. PLN z medianą 2 236,16 tys. PLN.

Poszukiwanie jednego przedziału wartości Portfela IP można zobiektywizować z wykorzystaniem wskaźników zmienności rozkładów wyników poszczególnych metod, konstruując zmienną ważoną w relacji odwrotnie proporcjonalnej do wartości tych wskaźników. Takie podejście zobrazowano na wykresie i w tabeli:

Tornado Chart dodatkowo poszerza naszą wiedzę o wpływie zmienności poszczególnych zmiennych losowych na zmienność wyniku wyceny, czyli de facto o niepewności z jaką ustaliliśmy poszczególne parametry modeli finansowych.

Wnioski

Przedstawiony przykład wykorzystuje oprogramowanie Model Risk firmy Vose software https://www.vosesoftware.com/Risk-In-Excel/. Niemal od pierwszych wersji tego oprogramowania korzystam z niego w swojej działalności doradczej.

Użycie modelu stochastycznego w wycenie zobrazowałem na bardzo prostym przypadku. W praktyce pojawiają się bardziej złożone sytuacje, gdy modelowanie stochastyczne przynosi zdecydowanie większe pożytki:

• Wycena obejmuje umowy z wieloma klauzulami o charakterze opcji realnych.
• Rozpoznano zdarzenie, którego zaistnienie (o ile wsytąpi) w dużym stopniu wpłynie na zdolność dochodową przedmiotu wyceny.
• Niektóre parametry modelu finansowego są skorelowane,
• Duża liczba parametrów cenowo-kosztowych rozbudowanego modelu finansowego jest niezwykle trudna do uwzględniena w standardowej analizie wrażliwości wyniku wyceny (zasada ceteris paribus nie sprawdza się),
• Dobór rozkładów zmiennych losowych („długie ogony”) pozwala na odzwierciedlenie „nieznanej niepewności”, gdy konserwatywne (ostrożne) podejście jest szczególnie ważne.
• Analiza wielu tysięcy scenariuszy w niezwykle krótkim czasie pozwala na ujawnienie wyników skrajnych o istotnym prawdopodobieństwem zaistnienia.
• Po wprowadzeniu zmian w prognozowanych kontraktach (np.: w celu ograniczenia lub innej alokacji ryzyka) otrzymujemy natychmiastowe wartościowanie takiego działania.

[1] (Definicja ryzyka według Davida Vose, „Risk analysis – a quantitative guide”, Wiley&Sons, 2008).